Guía Completa de algebra lineal

Autor: Mario Uriel Juárez Rosales
Facultad: Facultad de Sistemas Biológicos e Innovación Tecnológica (FASBIT)

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Parte 1: Álgebra Lineal

Referencia: Larson, R. (2019). Fundamentos de álgebra lineal (8.ª ed.). Cengage Learning.

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1. Sistemas de Ecuaciones Lineales

1.1 Definición

Un sistema de m ecuaciones lineales con n variables tiene la forma general:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{matrix}$

donde:

• aᵢⱼ son los coeficientes reales ($i = 1,\dots,m$; $j = 1,\dots,n$)
• xⱼ son las incógnitas o variables
• bᵢ son los términos constantes

1.2 Forma Matricial

Este sistema se puede expresar de forma matricial compacta como:

Ax = b

donde:

Ejemplo visual:

1.3 Clasificación de Sistemas

Figura: Punto de intersección de tres planos

Ejemplo 1.1 - Análisis de un Sistema

Determinar el tipo de sistema:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 2y + 2z = 12 \\ 3x + 3y + 3z = 18 \end{cases}$

Solución:

Observamos que la segunda ecuación es el doble de la primera, y la tercera es el triple. Por lo tanto, todas las ecuaciones representan el mismo plano.

El sistema es consistente indeterminado con infinitas soluciones.

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2. Álgebra de Matrices y Sus Propiedades

2.1 Multiplicación de Matrices

Sean A una matriz de tamaño m × n y B una matriz de tamaño n × p. El producto C = AB es una matriz de tamaño m × p donde cada componente cᵢⱼ se calcula mediante el producto punto del renglón i de A y la columna j de B:

$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}$

Requisito indispensable: El número de columnas de la matriz de la izquierda (A) debe ser exactamente igual al número de renglones de la matriz de la derecha (B).

2.2 La Matriz Identidad

La matriz identidad de orden n, denotada como Iₙ, es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son 0:

$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$

Esta matriz actúa como el elemento neutro multiplicativo en el álgebra matricial:

$AI_{n} = A \quad \text{y} \quad I_{m}A = A$

2.3 Propiedades Fundamentales de la Multiplicación

Nota importante: Incluso si ambos productos AB y BA están definidos y producen matrices del mismo tamaño, los resultados numéricos suelen diferir.

Ejemplo 2.1 - Multiplicación de matrices y demostración de la no conmutatividad

Dadas las matrices:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

1. Calcular el producto AB.

Solución:

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-1)+(2)(2) & (1)(4)+(2)(3) \\ (3)(-1)+(0)(2) & (3)(4)+(0)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+4 & 4+6 \\ -3+0 & 12+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 10 \\ -3 & 12 \end{pmatrix}$

2. Calcular el producto BA y comprobar si se cumple la conmutatividad.

Solución:

$BA = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1)+(4)(3) & (-1)(2)+(4)(0) \\ (2)(1)+(3)(3) & (2)(2)+(3)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+12 & -2+0 \\ 2+9 & 4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & -2 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}$

Conclusión:

$AB = \begin{pmatrix} 3 & 10 \\ -3 & 12 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 11 & -2 \\ 11 & 4 \end{pmatrix} = BA$

Este resultado ilustra de manera práctica que el producto matricial no es conmutativo.

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3. Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones

3.1 Eliminación de Gauss-Jordan

Este método consiste en aplicar operaciones elementales de renglón a la matriz aumentada $[A \vert{} b]$ para llevarla a su forma escalonada reducida por renglones.

Operaciones elementales permitidas:

Ejemplo 3.1 - Eliminación de Gauss-Jordan

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de 3 × 3:

$\begin{cases} x - 2y + 3z = 9 \\ -x + 3y = -4 \\ 2x - 5y + 5z = 17 \end{cases}$

Solución:

Paso 1: Escribimos la matriz aumentada correspondiente al sistema:

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 9 \\ -1 & 3 & 0 & -4 \\ 2 & -5 & 5 & 17 \end{bmatrix}$$

Paso 2: Eliminamos la variable x de los renglones 2 y 3:

• $R_2 \rightarrow R_2 + R_1$
• $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Paso 3: Eliminamos el término en la segunda columna del renglón 3:

• $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$$

Paso 4: Multiplicamos el renglón 3 por 1/2 para obtener el uno principal:

• $R_3 \rightarrow \frac{1}{2}R_3$

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

Paso 5: Iniciamos la fase de sustitución hacia atrás:

• $R_2 \rightarrow R_2 - 3R_3$
• $R_1 \rightarrow R_1 - 3R_3$

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

Paso 6: Finalmente, eliminamos el término en la columna 2 del renglón 1:

• $R_1 \rightarrow R_1 + 2R_2$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

Solución final:

$x = 1, y = -1, z = 2$

3.2 Método de la Matriz Inversa

Si A es una matriz cuadrada y $\text{det}(A) \neq 0$, entonces el sistema $Ax = b$ tiene una solución dada por:

$x = A^{-1}b$

Pasos para calcular A⁻¹:

1. Plantear la matriz aumentada conjunta $[A \vert{} I_n]$
2. Aplicar operaciones elementales para transformar el bloque izquierdo en la identidad
3. El bloque derecho resultante será $A^{-1}$

Ejemplo 3.2 - Método de la Matriz Inversa

Resolver el sistema $Ax = b$ mediante el método de la matriz inversa, donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad b = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$

Solución:

Paso 1: Calculamos la matriz inversa $A^{-1}$ planteando la matriz aumentada conjunta $[A | I_2]$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Paso 2: Aplicamos operaciones elementales:

• $R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{bmatrix}$$

• $R_2 \rightarrow -\frac{1}{2}R_2$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}$$

• $R_1 \rightarrow R_1 - 2R_2$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 3/2 & -1/2 \end{bmatrix}$$

Paso 3: La matriz inversa es:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

Paso 4: Multiplicamos esta inversa por el vector b para hallar la solución x:

$x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(5) + (1)(11) \\ (3/2)(5) + (-1/2)(11) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 + 11 \\ 15/2 - 11/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Solución final:

$x_1 = 1, x_2 = 2$

3.3 Regla de Cramer

La Regla de Cramer proporciona la solución de $Ax = b$ mediante determinantes:

$x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)}$

donde $A_i$ es la matriz A con la columna i reemplazada por el vector b.

Limitación: Solo funciona cuando $\text{det}(A) \neq 0$ (matriz no singular).

Ejemplo 3.3 - Regla de Cramer

Resolver el siguiente sistema empleando la Regla de Cramer:

$\begin{cases} 3x + 2y = 14 \\ 2x - y = 7 \end{cases}$

Solución:

Paso 1: Definimos la matriz de coeficientes A y el vector de términos independientes b:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \quad b = \begin{pmatrix} 14 \\ 7 \end{pmatrix}$

Paso 2: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (3)(-1) - (2)(2) = -3 - 4 = -7$

Paso 3: Dado que $\text{det}(A) \neq 0$, procedemos a construir las matrices modificadas $A_1$ y $A_2$:

$A_1 = \begin{pmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{pmatrix} \quad A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 14 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$

Paso 4: Calculamos los determinantes de estas matrices:

$\text{det}(A_1) = \begin{vmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} = (14)(-1) - (2)(7) = -14 - 14 = -28$

$\text{det}(A_2) = \begin{vmatrix} 3 & 14 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = (3)(7) - (14)(2) = 21 - 28 = -7$

Paso 5: Finalmente, aplicamos la regla para cada variable:

$x = \frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)} = \frac{-28}{-7} = 4$ $y = \frac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)} = \frac{-7}{-7} = 1$

Solución final:

$x = 4, y = 1$

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4. Ajuste Polinomial de Curvas

4.1 Definición

El ajuste de curvas consiste en hallar un polinomio de grado n que pase a través de n + 1 puntos de coordenadas distintas en el plano cartesiano.

Dados los puntos $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$, buscamos un polinomio:

$p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$

que satisfaga $p(x_i) = y_i$ para todo $i = 0, 1, \dots, n$.

4.2 Sistema de Ecuaciones

Sustituyendo cada punto en el polinomio, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:

$\begin{matrix} a_0 + a_1x_0 + a_2x_0^2 + \cdots + a_nx_0^n = y_0 \\ a_0 + a_1x_1 + a_2x_1^2 + \cdots + a_nx_1^n = y_1 \\ \vdots \\ a_0 + a_1x_n + a_2x_n^2 + \cdots + a_nx_n^n = y_n \end{matrix}$

Ejemplo 4.1 - Ajuste Polinomial de Curvas

Determinar el polinomio cuadrático de la forma $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$ que pasa exactamente por los puntos (1, 4), (2, 0) y (3, -2).

Solución:

Paso 1: Sustituimos cada punto dado en la ecuación del polinomio:

• Para (1, 4): $a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 = 4 \rightarrow a_0 + a_1 + a_2 = 4$
• Para (2, 0): $a_0 + a_1(2) + a_2(2)^2 = 0 \rightarrow a_0 + 2a_1 + 4a_2 = 0$
• Para (3, -2): $a_0 + a_1(3) + a_2(3)^2 = -2 \rightarrow a_0 + 3a_1 + 9a_2 = -2$

Paso 2: Escribimos la matriz aumentada del sistema:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 9 & -2 \end{bmatrix}$$

Paso 3: Aplicamos la eliminación gaussiana:

• $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ y $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & -4 \\ 0 & 2 & 8 & -6 \end{bmatrix}$$

• $R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$

• $R_3 \rightarrow \frac{1}{2}R_3$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

Paso 4: Realizamos la sustitución hacia atrás:

• Del renglón 3: $a_2 = 1$
• Del renglón 2: $a_1 + 3(1) = -4 \rightarrow a_1 = -7$
• Del renglón 1: $a_0 + (-7) + (1) = 4 \rightarrow a_0 = 10$

Solución final:

$p(x) = 10 - 7x + x^2$

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5. El Teorema de Cayley-Hamilton

5.1 Definición

El Teorema de Cayley-Hamilton establece que una matriz cuadrada A satisface su propio polinomio característico.

El polinomio característico de A es:

$p(\lambda) = \text{det}(\lambda I - A)$

5.2 Enunciado del Teorema

Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si el polinomio característico de A es $p(\lambda)$, entonces al sustituir la variable escalar $\lambda$ por la matriz A (y el término constante $c_0$ por $c_0I_n$), se obtiene la matriz nula O:

$p(A) = A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1A + c_0I_n = O$

5.3 Aplicación

Este teorema es útil para:

• Calcular potencias altas de matrices
• Calcular la inversa de una matriz
• Simplificar expresiones matriciales

Ejemplo 5.1 - Verificación y aplicación del Teorema de Cayley-Hamilton

Sea la matriz:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

1. Verificar el Teorema de Cayley-Hamilton para esta matriz.

Solución:

Paso 1: Calculamos el polinomio característico de A:

$p(\lambda) = \text{det}(\lambda I_2 - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 \\ -3 & \lambda-4 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-4) - (-2)(-3) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2$

Paso 2: Sustituimos $\lambda$ por A:

$p(A) = A^2 - 5A - 2I_2$

Paso 3: Primero calculamos la potencia A²:

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+6 & 2+8 \\ 3+12 & 6+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$

Paso 4: Sustituimos en la expresión:

$p(A) = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$p(A) = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-5-2 & 10-10-0 \\ 15-15-0 & 22-20-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Conclusión: Queda verificado que $p(A) = O$.

2. Utilizar el teorema para calcular la matriz inversa A⁻¹.

Solución:

Dado que $A^2 - 5A - 2I_2 = O$, podemos despejar el término de la identidad:

$2I_2 = A^2 - 5A = A(A - 5I_2)$

Multiplicando ambos miembros por $A^{-1}$ por la izquierda:

$2A^{-1} = A - 5I_2 \implies A^{-1} = \frac{1}{2}(A - 5I_2)$

Sustituyendo los valores de las matrices:

$A^{-1} = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

Conclusión: Este resultado coincide plenamente con el obtenido por operaciones elementales de renglón.

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Conclusión de Álgebra Lineal

El estudio formal de los sistemas de ecuaciones y sus métodos analíticos constituye el núcleo operativo del álgebra lineal. El ajuste polinomial ilustra la utilidad práctica de estos conceptos al modelar fenómenos continuos. Finalmente, herramientas teóricas avanzadas como el Teorema de Cayley-Hamilton demuestran la profunda interconexión que existe entre el álgebra polinomial y la teoría de matrices.

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