Curso De Calculo Diferencial

Cálculo Diferencial

Referencia: Larson, R. E., Hostetler, R. P., y Edwards, B. H. (1999). Cálculo y geometría analítica (6.ª ed.). McGraw-Hill / Interamericana.
Leithold, L. (1998). El cálculo (7.ª ed.). Oxford University Press.

---

1. Preparación para el Cálculo: Gráficas y Funciones

1.1 Interceptos

Los interceptos son los puntos donde la gráfica de una función cruza los ejes coordenados:

• Intercepto con el eje x: Se calcula haciendo $y = 0$ y resolviendo para $x$
• Intercepto con el eje y: Se calcula haciendo $x = 0$ y evaluando $f(0)$

1.2 Simetría

Figura: Funciones pares e impares

1.3 Dominio

El dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión de la función genera un valor real bien definido.

Restricciones comunes:

• El denominador no puede ser cero
• El radicando de una raíz par debe ser no negativo
• El argumento de un logaritmo debe ser positivo

Ejemplo 1.1 - Análisis Algebraico de una Función Racional

Para la función racional real:

$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}$

Determine su dominio, sus intersecciones con los ejes coordenados y analice su simetría.

Solución:

1. Cálculo del Dominio:

Al ser una expresión racional, el denominador no puede ser nulo:

$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$

El dominio es: Df = ℝ \ {-2, 2}

2. Interceptos:

• Con el eje x (haciendo $f(x) = 0$):

$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$

Los interceptos son: (1, 0) y (-1, 0)

• Con el eje y (haciendo $x = 0$):

$f(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 - 4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

El intercepto es: (0, 1/4)

3. Análisis de Simetría:

Evaluamos $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4} = f(x)$

Dado que $f(-x) = f(x)$, la función es par y, por tanto, es simétrica respecto al eje y.

---

2. Propiedades Fundamentales de los Límites

El cálculo de límites analíticos se basa en propiedades teóricas que distribuyen el operador del límite sobre las operaciones aritméticas elementales de las funciones.

Regla Teórica 2.1 - Propiedades de los Límites

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones tales que sus límites cuando $x \to c$ existen, siendo $\lim_{x \to c} f(x) = L$ y $\lim_{x \to c} g(x) = M$, y sea $k$ una constante real:

Figura: Propiedades de límites

Ejemplo 2.1 - Evaluación Directa y Aplicación de Propiedades

Evaluar el límite de la función polinomial justificando la aplicación de cada propiedad:

$\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4)$

Solución:

Paso 1: Aplicamos la propiedad de la suma y resta de límites:

$\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 4) = \lim_{x \to 2} (3x^2) - \lim_{x \to 2} (5x) + \lim_{x \to 2} (4)$

Paso 2: Extraemos las constantes multiplicativas:

$= 3 \lim_{x \to 2} (x^2) - 5 \lim_{x \to 2} (x) + \lim_{x \to 2} (4)$

Paso 3: Aplicamos la propiedad de la potencia y el límite de la identidad:

$= 3(2)^2 - 5(2) + 4$

Paso 4: Realizamos las operaciones aritméticas:

$= 3(4) - 10 + 4 = 12 - 10 + 4 = 6$

Respuesta: El valor del límite es 6.

---

3. Definición Formal de Límite (ε-δ)

Figura: Definición ε-δ de límite

La definición Épsilon-Delta ($\varepsilon$-$\delta$) introducida por Leithold proporciona el soporte matemático riguroso para formalizar la idea de aproximación local sin depender de nociones intuitivas de cercanía.

Regla Teórica 3.1 - Criterio Épsilon-Delta

Decimos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a $c$ es el número real $L$, denotado como:

$\lim_{x \to c} f(x) = L$

si para cada número real $\varepsilon > 0$, existe un número real correspondiente $\delta > 0$ tal que si:

$0 < \vert{}x - c\vert{} < \delta \implies \vert{}f(x) - L\vert{} < \varepsilon$

Ejemplo 3.1 - Demostración Formal Épsilon-Delta

Demostrar formalmente utilizando la definición de límite que:

$\lim_{x \to 2} (4x - 3) = 5$

Solución:

1. Fase de análisis preliminar:

Queremos demostrar que para cualquier $\varepsilon > 0$ dado, existe un $\delta > 0$ tal que si $0 < \vert{}x - 2\vert{} < \delta$, se cumple que:

$\vert{}(4x - 3) - 5\vert{} < \varepsilon$

Desarrollamos algebraicamente:

$\vert{}4x - 8\vert{} < \varepsilon \implies \vert{}4(x - 2)\vert{} < \varepsilon \implies 4\vert{}x - 2\vert{} < \varepsilon \implies \vert{}x - 2\vert{} < \frac{\varepsilon}{4}$

Esta secuencia algebraica sugiere que podemos elegir: $\delta = \varepsilon/4$

2. Fase de demostración formal:

Sea $\varepsilon > 0$ un número arbitrario. Elegimos $\delta = \frac{\varepsilon}{4}$.

Si asumimos que $0 < \vert{}x - 2\vert{} < \delta$, entonces:

$\vert{}x - 2\vert{} < \frac{\varepsilon}{4} \implies 4\vert{}x - 2\vert{} < \varepsilon \implies \vert{}4x - 8\vert{} < \varepsilon \implies \vert{}(4x - 3) - 5\vert{} < \varepsilon$

Conclusión: Queda demostrado bajo el criterio riguroso $\varepsilon$-$\delta$ que el límite es 5.

---

4. Técnicas Analíticas para el Cálculo de Límites

Cuando la sustitución directa produce formas indeterminadas del tipo $0/0$, se aplican técnicas de factorización y racionalización para remover la indeterminación.

4.1 Formas Indeterminadas Comunes

Figura: Tipos de discontinuidad

4.2 Técnicas Algebraicas

Cancelación por factorización: Se factorizan numerador y denominador para simplificar el factor que causa la indeterminación.

Racionalización por conjugado: Se multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del término que contiene raíces para eliminar la anulación.

Ejemplo 4.1 - Límite por Factorización

Evaluar el siguiente límite:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4}$

Solución:

Paso 1: La sustitución directa de $x = 2$ conduce a la indeterminación:

$\frac{2^2 + 2 - 6}{2^2 - 4} = \frac{0}{0}$

Paso 2: Factorizamos el numerador y el denominador:

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$ $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Paso 3: Sustituimos en el límite y cancelamos el término indeterminado:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{x + 2}$

Paso 4: Evaluamos de forma directa el límite simplificado:

$\lim_{x \to 2} \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{2 + 3}{2 + 2} = \frac{5}{4}$

Respuesta: El límite es 5/4.

Ejemplo 4.2 - Límite por Racionalización por Conjugado

Evaluar el siguiente límite:

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$

Solución:

Paso 1: La sustitución directa de $x = 1$ conduce a la forma indeterminada $0/0$.

Paso 2: Multiplicamos el numerador y el denominador por la expresión conjugada:

$\frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x+3} + 2}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{(x+3) - 4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}$

Paso 3: Aplicamos la diferencia de cuadrados en el numerador:

$(x + 3) - (2)^2 = x + 3 - 4 = x - 1$

Paso 4: Cancelamos el factor común $(x - 1)$:

$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2}$

Paso 5: Evaluamos el límite por sustitución directa:

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{1+3} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

Respuesta: El límite es 1/4.

---

5. Continuidad y el Teorema del Valor Intermedio (TVI)

5.1 Definición de Continuidad

Una función $f$ es continua en un punto $x = c$ si se cumplen tres condiciones:

1. $f(c)$ está definida
2. $\lim_{x \to c} f(x)$ existe
3. $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$

5.2 Teorema del Valor Intermedio (TVI)

Figura: Teorema del Valor Intermedio

Si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$, y $N$ es cualquier número real comprendido estrictamente entre $f(a)$ y $f(b)$ (donde $f(a) \neq f(b)$), entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo abierto $(a, b)$ tal que:

$f(c) = N$

Interpretación Gráfica del TVI

Ejemplo 5.1 - Demostración de Raíces mediante el TVI

Demostrar que la ecuación polinomial $x^3 + 2x - 5 = 0$ posee al menos una solución real en el intervalo cerrado $[1, 2]$.

Solución:

Paso 1: Definimos la función asociada $f(x) = x^3 + 2x - 5$.

Paso 2: Por ser una función polinomial, $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ y, por lo tanto, es continua en $[1, 2]$.

Paso 3: Evaluamos la función en los extremos del intervalo:

$f(1) = (1)^3 + 2(1) - 5 = 1 + 2 - 5 = -2$ $f(2) = (2)^3 + 2(2) - 5 = 8 + 4 - 5 = 7$

Paso 4: Observamos que la función toma valores con signos opuestos:

$f(1) = -2 < 0 \quad \text{y} \quad f(2) = 7 > 0$

Como $N = 0$ está comprendido entre $f(1) = -2$ y $f(2) = 7$, el TVI garantiza la existencia de al menos un número real $c \in (1, 2)$ tal que:

$f(c) = 0 \implies c^3 + 2c - 5 = 0$

Conclusión: Se demuestra la existencia de al menos una solución en el intervalo abierto $(1, 2)$.

---

6. La Definición de la Derivada y Diferenciabilidad

6.1 Definición de Derivada

![Derivada de una función](/uploads/421d8f76-617b-43e3-8fd3-caf8db949d87.jpg Figura: Derivada de una función")

La derivada de una función $f$ en un punto $x$ de su dominio viene dada por el límite del cociente de incrementos de diferencias:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

siempre que el límite exista.

6.2 Interpretación Geométrica

Figura: Recta tangente a una curva

La derivada $f'(x)$ representa la pendiente de la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en el punto $(x, f(x))$.

6.3 Relación entre Diferenciabilidad y Continuidad

Teorema: Si $f$ es diferenciable en un punto $x = c$, entonces $f$ es continua en $x = c$.

Importante: La continuidad NO garantiza la diferenciabilidad. Una función puede ser continua en un punto pero no diferenciable (ejemplo: $f(x) = |x|$ en $x = 0$).

Ejemplo 6.1 - Cálculo de la Derivada por Definición

Calcular la derivada de la función $f(x) = \sqrt{x}$ (para $x > 0$) aplicando la definición formal.

Solución:

Paso 1: Planteamos la fórmula del límite del cociente de diferencias:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}$

Paso 2: Racionalizamos el numerador multiplicando por el conjugado:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})}$

Paso 3: Aplicamos la diferencia de cuadrados en el numerador:

$(x + \Delta x) - (x) = x + \Delta x - x = \Delta x$

Paso 4: Simplificamos el término de incremento $\Delta x$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}}$

Paso 5: Evaluamos de forma directa el límite:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Respuesta: La derivada es $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

---

7. Reglas Fundamentales de Derivación

Las leyes operativas del cálculo diferencial nos permiten calcular la derivada de funciones complejas de forma puramente analítica mediante reglas aritméticas establecidas.

Regla Teórica 7.1 - Teoremas Analíticos de Derivación

Sean $u(x)$ y $v(x)$ funciones diferenciables:

Derivadas de Funciones Trigonométricas

Ejemplo 7.1 - Derivada Combinada mediante Reglas y Cadena

Calcular la derivada de la siguiente función:

$y = (2x^2 + 1)^3 \cos(x)$

Solución:

Paso 1: Identificamos que la función principal posee la estructura de un producto, donde:

$u(x) = (2x^2 + 1)^3 \quad \text{y} \quad v(x) = \cos(x)$

Paso 2: Derivamos $u(x)$ aplicando la regla de la cadena:

$u'(x) = 3(2x^2 + 1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x^2 + 1) = 3(2x^2 + 1)^2(4x) = 12x(2x^2 + 1)^2$

Paso 3: Derivamos $v(x)$ de forma trigonométrica directa:

$v'(x) = -\sin(x)$

Paso 4: Aplicamos la Regla del Producto:

$y' = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$ $y' = (2x^2+1)^3(-\sin(x)) + \cos(x)[12x(2x^2+1)^2]$ $y' = (2x^2+1)^2[12x\cos(x) - (2x^2+1)\sin(x)]$

Respuesta:

$y' = (2x^2+1)^2[12x\cos(x) - (2x^2+1)\sin(x)]$

---

8. Derivación Implícita y Ritmos Relacionados

8.1 Diferenciación Implícita

En una curva algebraica definida implícitamente por la ecuación $F(x, y) = 0$, para calcular $\frac{dy}{dx}$ se derivan ambos miembros de la ecuación respecto a la variable independiente $x$, aplicando la regla de la cadena para la variable $y$ (añadiendo el factor $\frac{dy}{dx}$). Posteriormente, se agrupan los factores diferenciales y se despeja $\frac{dy}{dx}$.

8.2 Pasos para la Derivación Implícita

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto a $x$
2. Aplicar la regla de la cadena cuando derivemos $y$ (multiplicar por $\frac{dy}{dx}$)
3. Agrupar los términos con $\frac{dy}{dx}$ en un lado
4. Factorizar $\frac{dy}{dx}$
5. Despejar $\frac{dy}{dx}$

Ejemplo 8.1 - Cálculo de Pendiente Implícita

Dada la curva algebraica implícita:

$y^2 + xy = 6$

1. Determinar la derivada general $\frac{dy}{dx}$ de forma implícita.

2. Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1, 2).

Solución:

1. Cálculo de la derivada implícita:

Diferenciamos de forma simultánea ambos miembros de la igualdad respecto a $x$:

$\frac{d}{dx}[y^2 + xy] = \frac{d}{dx}[6]$

Aplicamos regla de la cadena para $y^2$ y regla del producto para $xy$:

$2y \frac{dy}{dx} + y(1) + x \frac{dy}{dx} = 0$

Agrupamos los factores algebraicos que contienen la derivada $\frac{dy}{dx}$:

$2y \frac{dy}{dx} + x \frac{dy}{dx} = -y$

Factorizamos la derivada $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx}(2y + x) = -y$

Despejamos:

$\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{2y + x}$

2. Evaluación de la pendiente en el punto (1, 2):

Verificamos que el punto pertenece a la curva:

$2^2 + (1)(2) = 4 + 2 = 6 \quad \text{✓}$

Evaluamos la pendiente:

$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,2)} = \frac{-2}{2(2) + 1} = -\frac{2}{5}$

Respuesta: El valor de la pendiente de la recta tangente en el punto $(1, 2)$ es $-2/5$.

---

---

Conclusión de Cálculo Diferencial

El estudio formal de las bases del cálculo diferencial, unificado bajo los enfoques de la Sexta Edición de Larson y la rigurosa perspectiva formal de Louis Leithold, proporciona un panorama conceptual robusto. La transición que inicia con la preparación algebraica (Capítulo P) se consolida a través de la formalización métrica $\varepsilon$-$\delta$ de límites y el Teorema del Valor Intermedio (Capítulo 1), sentando las bases teóricas necesarias para la construcción formal de la derivada, el análisis de diferenciabilidad y el modelado físico de tasas de cambio en el tiempo

---

---

calculodiferencial

Pantalla completa ↗

▶Ejecutar interactivoSe ejecuta aislado del portal.