Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de Primer Orden

Referencia: Zill, D. G. (2018). Matemáticas avanzadas para ingeniería (3.ª ed.). Vol. 1: Ecuaciones diferenciales. Cengage Learning.

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Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Figura:Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una relación matemática que vincula una función desconocida, sus variables y una o más de sus derivadas. Son herramientas fundamentales para modelar sistemas dinámicos donde se conocen las tasas de cambio de las variables.

Clasificación Fundamental

Para resolver una ecuación diferencial, primero debe clasificarse según tres criterios principales:

• Por Tipo:
  • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): La función desconocida depende de una única variable independiente (e.g., $\frac{dy}{dx} + 2y = 0$).
  • Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): La función depende de dos o más variables independientes, involucrando derivadas parciales.
• Por Orden: El orden de una ecuación diferencial es igual al orden de la derivada más alta presente en la ecuación. Por ejemplo, una ecuación con $y''$ es de segundo orden.
• Por Grado: Es la potencia (exponente) a la que está elevada la derivada de mayor orden, una vez que la ecuación se ha escrito en forma polinomial respecto a sus derivadas. Si la derivada mayor es $(y'')^3$, el grado es 3.
• Por Linealidad: Una EDO de orden $n$ es lineal si la variable dependiente $y$ y todas sus derivadas tienen un exponente de 1 (grado 1), y los coeficientes que las acompañan dependen exclusivamente de la variable independiente $x$.

Figura:clasificacion de ecuaciones diferenciales

Derivación Parcial (Fundamento para Ecuaciones Exactas)

En el cálculo de varias variables, una función como $f(x, y)$ depende tanto de $x$ como de $y$. La derivación parcial consiste en aislar el ritmo de cambio respecto a una sola variable, manteniendo las demás estáticas.

• Derivada parcial respecto a $x$ $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$: Se aplican las reglas normales de derivación a $x$, mientras que la variable $y$ se trata exactamente como si fuera un número constante.
• Derivada parcial respecto a $y$ $\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$: Se deriva respecto a $y$, asumiendo que $x$ es una constante.

Figura:Derivada parciales definicion

Ejemplo demostrativo: Sea $f(x, y) = x^2y^3 + \sin(x) + e^y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3 + \cos(x) + 0$ (aquí $y^3$ acompañó a $x^2$ como constante, y $e^y$ se volvió cero por no tener $x$).
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2(3y^2) + 0 + e^y = 3x^2y^2 + e^y$ (aquí $x^2$ actuó como coeficiente constante).

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1. Variables Separables

1.1 Definición y Forma General

Una ecuación diferencial de primer orden es de variables separables si puede expresarse en una forma donde cada variable y su diferencial respectivo se agrupan de manera independiente en lados opuestos de la igualdad. Su forma general analítica es: $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$

Asumiendo que $h(y) \neq 0$, la expresión se reescribe algebraicamente separando los términos diferenciales: $\frac{1}{h(y)} \, dy = g(x) \, dx$

1.2 Solución General

La solución general se obtiene mediante la integración directa de ambos miembros: $\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx + C$ donde $C$ representa una constante de integración arbitraria.

Ejemplo 1.1 - Resolución de una EDO Separable con Valor Inicial (PVI)

Resolver el problema con valores iniciales avanzado: $x\frac{dy}{dx} = y^2 - y, \quad y(e) = 2$

Solución:

1. Separamos las variables dividiendo entre $x(y^2 - y)$ para $x > 0$: $\frac{1}{y(y - 1)} \, dy = \frac{1}{x} \, dx$
2. Aplicamos fracciones parciales en el miembro izquierdo $\left(\frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y}\right)$ e integramos: $\int \left(\frac{1}{y - 1} - \frac{1}{y}\right) dy = \int \frac{1}{x} \, dx \implies \ln|y - 1| - \ln|y| = \ln|x| + C_0$
3. Simplificamos mediante leyes logarítmicas y aplicamos la condición inicial $y(e) = 2$ para hallar la constante particular: $\frac{y - 1}{y} = C_1 x \implies \frac{2 - 1}{2} = C_1 e \implies C_1 = \frac{1}{2e}$
4. Despejamos la variable dependiente $y(x)$: $y(x) = \frac{2e}{2e - x} \quad (\text{válida en el intervalo } 0 < x < 2e)$

Ejemplo 1.2 - Resolución Separable Trigonométrica

Resolver la ecuación diferencial: $e^y \sin(x) \, dx - \cos^2(x) \, dy = 0$

Solución:

1. Separamos variables dividiendo toda la ecuación entre $e^y \cos^2(x)$: $\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx - e^{-y} \, dy = 0 \implies e^{-y} \, dy = \sec(x)\tan(x) \, dx$
2. Integramos ambos lados directamente: $\int e^{-y} \, dy = \int \sec(x)\tan(x) \, dx \implies -e^{-y} = \sec(x) + C_0$
3. Multiplicamos por $-1$ y redefinimos la constante $C = -C_0$: $e^{-y} = C - \sec(x) \implies -y = \ln|C - \sec(x)|$
4. Despejando explícitamente: $y(x) = -\ln|C - \sec(x)|$

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2. Ecuaciones Diferenciales Lineales

2.1 Definición y Forma Estándar

Las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales se caracterizan porque la variable dependiente $y$ y su derivada $y'$ aparecen únicamente elevadas a la primera potencia y no forman parte de argumentos no lineales. Su forma estándar es: $\frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)$ donde $P(x)$ y $f(x)$ son funciones continuas en un intervalo común $I$.

2.2 Factor Integrante

El método analítico clásico requiere calcular un factor integrante $\mu(x)$ definido como: $\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}$

Al multiplicar la forma estándar por $\mu(x)$, el miembro izquierdo se convierte en la derivada exacta de un producto, permitiendo integrar directamente: $\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)f(x) \implies \mu(x)y = \int \mu(x)f(x) \, dx + C$

Ejemplo 2.1 - Resolución de una EDO Lineal con Condiciones de Frontera

Resolver el problema con valores iniciales: $x\frac{dy}{dx} + (1 + x)y = e^{-x}, \quad y(1) = 0$

Solución:

1. Llevamos la ecuación a su forma estándar dividiendo entre $x$: $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{1 + x}{x}\right)y = \frac{e^{-x}}{x} \implies P(x) = \frac{1}{x} + 1$
2. Calculamos el factor integrante $\mu(x)$: $\mu(x) = e^{\int \left(\frac{1}{x} + 1\right)dx} = e^{\ln|x| + x} = xe^x$
3. Multiplicamos la forma estándar por $\mu(x)$, integramos y evaluamos la condición inicial $y(1) = 0$ para obtener $C = -1$: $xe^x y = \int 1 \, dx = x + C \implies (1)e^1(0) = 1 + C \implies C = -1$
4. Despejamos la solución particular y analizamos su comportamiento asintótico: $y(x) = \frac{x - 1}{xe^x} = e^{-x} - \frac{e^{-x}}{x} \quad \left(\lim_{x\to\infty} y(x) = 0\right)$

Ejemplo 2.2 - EDO Lineal Trigonométrica

Resolver la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx} + y\tan(x) = \sec(x)$

Solución:

1. La ecuación ya está en forma estándar con $P(x) = \tan(x)$ y $f(x) = \sec(x)$.
2. Calculamos el factor integrante $\mu(x)$: $\mu(x) = e^{\int \tan(x) \, dx} = e^{\ln|\sec(x)|} = \sec(x)$
3. Multiplicamos la ecuación por $\sec(x)$: $\sec(x)\frac{dy}{dx} + y\sec(x)\tan(x) = \sec^2(x) \implies \frac{d}{dx}[y\sec(x)] = \sec^2(x)$
4. Integramos respecto a $x$: $y\sec(x) = \int \sec^2(x) \, dx \implies y\sec(x) = \tan(x) + C$
5. Multiplicamos por $\cos(x)$ para despejar la función $y(x)$: $y(x) = \sin(x) + C\cos(x)$

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3. Ecuaciones Exactas

3.1 Criterio de Exactitud

Una ecuación escrita en su forma diferencial: $M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0$ es exacta en una región rectangular si las funciones $M$ y $N$ poseen primeras derivadas parciales continuas que satisfacen la condición de simetría: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

3.2 Solución General

Si se cumple la exactitud, existe una función potencial $f(x, y)$ tal que $df = M \, dx + N \, dy$, cuya solución general implícita se define como: $f(x, y) = C$

Ejemplo 3.1 - Resolución de una EDO Exacta con Logaritmos

Resolver el problema con valores iniciales: $\left(\ln(y) + \frac{y}{x}\right)dx + \left(\frac{x}{y} + \ln(x)\right)dy = 0, \quad y(1) = e$

Solución:

1. Verificamos la exactitud calculando las derivadas parciales cruzadas: $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \implies \text{Es exacta}$
2. Integramos $M(x, y)$ respecto a $x$ para obtener la función potencial parcial: $f(x, y) = \int \left(\ln(y) + \frac{y}{x}\right)dx = x\ln(y) + y\ln(x) + g(y)$
3. Derivamos parcialmente respecto a $y$, igualamos a $N(x, y)$ para hallar $g'(y) = 0$, y evaluamos la condición inicial $y(1) = e$: $x\ln(y) + y\ln(x) = C \implies (1)\ln(e) + (e)\ln(1) = C \implies C = 1$
4. La solución particular implícita es: $x\ln(y) + y\ln(x) = 1$

Ejemplo 3.2 - EDO Exacta con Trascendentales Mixtas

Resolver la ecuación: $(e^x\sin(y) - 2y\sin(x)) \, dx + (e^x\cos(y) + 2\cos(x)) \, dy = 0$

Solución:

1. Verificamos la exactitud: $\frac{\partial M}{\partial y} = e^x\cos(y) - 2\sin(x), \quad \frac{\partial N}{\partial x} = e^x\cos(y) - 2\sin(x) \implies \text{Es exacta}$
2. Integramos $M(x, y)$ respecto a $x$: $f(x, y) = \int (e^x\sin(y) - 2y\sin(x)) \, dx = e^x\sin(y) + 2y\cos(x) + g(y)$
3. Derivamos respecto a $y$ e igualamos a $N(x, y)$: $\frac{\partial f}{\partial y} = e^x\cos(y) + 2\cos(x) + g'(y) = e^x\cos(y) + 2\cos(x) \implies g'(y) = 0$
4. Planteamos la solución general: $e^x\sin(y) + 2y\cos(x) = C$

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4. Ecuaciones Convertibles a Exactas (Factores Integrantes)

Cuando $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$, la ecuación no es exacta. Se busca un factor integrante $\mu$ mediante las siguientes reglas:

Ejemplo 4.1 - Factor Integrante Dependiente de $y$

Resolver la ecuación diferencial: $y \, dx + (2x - ye^y)dy = 0$

Solución:

1. Verificamos la inexactitud: $M_y = 1$ y $N_x = 2$.
2. Evaluamos la regla del Caso II: $\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{2 - 1}{y} = \frac{1}{y} = Q(y) \implies \mu(y) = e^{\int \frac{1}{y}dy} = y$
3. Multiplicamos la ecuación por $\mu(y) = y$ para volverla exacta, e integramos: $y^2 \, dx + (2xy - y^2 e^y)dy = 0 \implies f(x, y) = x y^2 + g(y)$
4. Al derivar respecto a $y$ e integrar por partes el término restante de $g'(y) = -y^2 e^y$, obtenemos la solución implícita: $xy^2 - e^y(y^2 - 2y + 2) = C$

Ejemplo 4.2 - Factor Integrante Polinomial Dependiente de $x$

Resolver la ecuación: $(3x^2y + 2xy + y^3) \, dx + (x^2 + y^2) \, dy = 0$

Solución:

1. Derivadas cruzadas: $M_y = 3x^2 + 2x + 3y^2$ y $N_x = 2x$. No es exacta.
2. Analizamos la diferencia para buscar $\mu(x)$: $\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{3x^2 + 3y^2}{x^2 + y^2} = \frac{3(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = 3 = P(x)$
3. Calculamos el factor: $\mu(x) = e^{\int 3 \, dx} = e^{3x}$.
4. Multiplicamos la ecuación por $e^{3x}$, la volvemos exacta e integramos $N'(x, y)$ respecto a $y$: $f(x, y) = \int e^{3x}(x^2 + y^2) \, dy = e^{3x}\left(x^2y + \frac{1}{3}y^3\right) + g(x)$
5. Al derivar respecto a $x$ se deduce que $g'(x) = 0$, resultando en: $e^{3x}\left(x^2y + \frac{1}{3}y^3\right) = C$

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5. Ecuaciones Homogéneas

5.1 Definición y Sustitución

Una función $f(x, y)$ es homogénea de grado $\alpha$ si cumple $f(tx, ty) = t^\alpha f(x, y)$. Si los coeficientes $M$ y $N$ son homogéneos del mismo grado, la EDO se resuelve mediante las sustituciones: $y = ux \implies dy = u \, dx + x \, du \quad \text{o bien} \quad x = vy \implies dx = v \, dy + y \, dv$

Ejemplo 5.1 - Resolución de una EDO Homogénea con PVI trigonométrico

Resolver el problema con valores iniciales: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \cos^2\left(\frac{y}{x}\right), \quad y(1) = \frac{\pi}{4}$

Solución:

1. Aplicamos la sustitución homogénea estándar $y = ux \implies \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$: $u + x\frac{du}{dx} = u + \cos^2(u) \implies x\frac{du}{dx} = \cos^2(u)$
2. Separamos variables e integramos: $\sec^2(u) \, du = \frac{1}{x} \, dx \implies \tan(u) = \ln|x| + C \implies \tan\left(\frac{y}{x}\right) = \ln|x| + C$
3. Evaluamos la condición inicial $y(1) = \frac{\pi}{4}$ para determinar $C = 1$: $\tan\left(\frac{\pi/4}{1}\right) = \ln(1) + C \implies C = 1$
4. La solución particular explícita es: $y(x) = x\arctan(\ln|x| + 1)$

Ejemplo 5.2 - Homogénea de Primer Grado

Resolver la ecuación diferencial: $(x + y) \, dx + x \, dy = 0$

Solución:

1. Identificamos que tanto $M = (x + y)$ como $N = x$ son de grado 1.
2. Usamos $y = ux \implies dy = u \, dx + x \, du$: $(x + ux) \, dx + x(u \, dx + x \, du) = 0$
3. Factorizamos $x$ y agrupamos términos con $dx$: $x(1 + u) \, dx + xu \, dx + x^2 \, du = 0 \implies x(1 + 2u) \, dx + x^2 \, du = 0$
4. Separamos variables dividiendo entre $x^2(1 + 2u)$: $\frac{1}{x} \, dx + \frac{1}{1 + 2u} \, du = 0 \implies \int \frac{1}{x} \, dx + \int \frac{1}{1 + 2u} \, du = C_0$
5. Integramos y aplicamos leyes logarítmicas: $\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|1 + 2u| = C_0 \implies \ln|x^2(1 + 2u)| = C_1 \implies x^2(1 + 2u) = C$
6. Retornamos a la variable original $u = y/x$: $x^2\left(1 + 2\frac{y}{x}\right) = C \implies x^2 + 2xy = C$

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6. Ecuaciones de Bernoulli

6.1 Forma General y Transformación Linealizadora

Una ecuación de Bernoulli tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)y^n$ Para cualquier $n \neq 0, 1$, se reduce a una EDO lineal mediante la sustitución no lineal: $u = y^{1-n}$

Ejemplo 6.1 - Ecuación de Bernoulli con Exponente Fraccionario y PVI

Resolver el problema con valores iniciales: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{2x}y = x^2 y^{1/3}, \quad y(1) = 1$

Solución:

1. Identificamos el exponente de Bernoulli $n = 1/3$. Aplicamos la sustitución $u = y^{1 - 1/3} = y^{2/3}$.
2. Transformamos la ecuación original a su forma lineal en $u(x)$ (derivando $du/dx = \frac{2}{3}y^{-1/3}dy/dx$): $\frac{du}{dx} - \frac{1}{3x}u = \frac{2}{3}x^2$
3. Calculamos el factor integrante $\mu(x) = x^{-1/3}$, integramos y aplicamos la condición inicial $y(1) = 1$ para hallar la constante $C = 3/4$.
4. Deshacemos el cambio de variable para obtener la solución particular explícita: $y(x) = \left(\frac{x^3 + 3x^{1/3}}{4}\right)^{3/2}$

Ejemplo 6.2 - Bernoulli Clásica Cuadrática

Resolver la ecuación diferencial: $\frac{dy}{dx} + y = y^2$

Solución:

1. Identificamos el exponente $n = 2$ e implementamos la sustitución $u = y^{1-2} = y^{-1}$.
2. Derivamos $du/dx = -y^{-2}(dy/dx)$. Dividimos la ecuación original entre $y^2$: $y^{-2}\frac{dy}{dx} + y^{-1} = 1 \implies -\frac{du}{dx} + u = 1 \implies \frac{du}{dx} - u = -1$
3. Resolvemos la ecuación lineal en $u$ con el factor integrante $\mu(x) = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}$: $\frac{d}{dx}[e^{-x}u] = -e^{-x} \implies e^{-x}u = e^{-x} + C$
4. Despejamos $u(x)$: $u(x) = 1 + Ce^x$
5. Revertimos el cambio de variable $y = u^{-1}$: $y(x) = \frac{1}{1 + Ce^x}$

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Parte 5: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Referencia: Zill, D. G. (2018). Matemáticas avanzadas para ingeniería (3.ª ed.). Vol. 1: Ecuaciones diferenciales. Cengage Learning.

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1. Conceptos Básicos y el Wronskiano

1.1 Definición

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden $n$ lineal tiene la forma general: $a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)$

• Si $g(x) = 0$, la ecuación se denomina homogénea.
• Si $g(x) \neq 0$, la ecuación es no homogénea.

Para una EDO homogénea de orden $n$, el principio de superposición establece que si $y_1, y_2, \dots, y_n$ son soluciones, entonces cualquier combinación lineal $y = c_1y_1 + c_2y_2 + \dots + c_ny_n$ también es solución.

1.2 Independencia Lineal y el Wronskiano

Un conjunto de soluciones $y_1, y_2, \dots, y_n$ es linealmente independiente en un intervalo si la única forma de que $c_1y_1 + c_2y_2 + \dots + c_ny_n = 0$ sea cierta es que todas las constantes $c_i = 0$.

Para comprobar la independencia lineal, se utiliza el determinante Wronskiano $W(y_1, y_2, \dots, y_n)$. Para un sistema de segundo orden ($y_1, y_2$): $W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1y_2' - y_2y_1'$ Si $W \neq 0$ para al menos un punto en el intervalo, las soluciones son linealmente independientes y forman un conjunto fundamental de soluciones.

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2. Reducción de Orden

Si se conoce una solución no trivial $y_1(x)$ de una EDO lineal homogénea de segundo orden en su forma estándar $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$, es posible encontrar una segunda solución linealmente independiente $y_2(x)$ mediante la fórmula de reducción de orden: $y_2(x) = y_1(x) \int \frac{e^{-\int P(x) \, dx}}{[y_1(x)]^2} \, dx$

Ejemplo 2.1 - Reducción de Orden

Dada la ecuación $y'' - y = 0$ y sabiendo que $y_1 = e^x$ es una solución, encontrar $y_2$.

Solución:

1. La ecuación está en forma estándar con $P(x) = 0$.
2. Aplicamos la fórmula de reducción de orden: $y_2 = e^x \int \frac{e^{-\int 0 \, dx}}{(e^x)^2} \, dx = e^x \int \frac{1}{e^{2x}} \, dx = e^x \int e^{-2x} \, dx$
3. Integramos: $y_2 = e^x \left( -\frac{1}{2}e^{-2x} \right) = -\frac{1}{2}e^{-x}$
4. Como las constantes multiplicativas se absorben en la solución general, la segunda solución fundamental es $y_2 = e^{-x}$.

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3. EDO Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes

Para una ecuación de la forma $ay'' + by' + cy = 0$, proponemos una solución de la forma $y = e^{mx}$. Al sustituir, obtenemos la ecuación auxiliar (o característica): $am^2 + bm + c = 0$

Las raíces de esta ecuación cuadrática $m_1$ y $m_2$ definen tres casos posibles:

• Caso 1: Raíces reales y distintas ($m_1 \neq m_2$). $y = c_1e^{m_1x} + c_2e^{m_2x}$
• Caso 2: Raíces reales repetidas ($m_1 = m_2 = m$). Para evitar dependencia lineal, multiplicamos la segunda solución por $x$. $y = c_1e^{mx} + c_2xe^{mx}$
• Caso 3: Raíces complejas conjugadas ($m = \alpha \pm i\beta$). Aplicando la fórmula de Euler. $y = e^{\alpha x}(c_1\cos(\beta x) + c_2\sin(\beta x))$

Ejemplo 3.1 - Raíces Complejas

Resolver $y'' + 4y' + 13y = 0$.

Solución:

1. Ecuación auxiliar: $m^2 + 4m + 13 = 0$.
2. Usamos fórmula general: $m = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = -2 \pm 3i$.
3. Identificamos $\alpha = -2$ y $\beta = 3$. La solución general es: $y = e^{-2x}(c_1\cos(3x) + c_2\sin(3x))$

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4. Ecuaciones de Cauchy-Euler

Son ecuaciones lineales con coeficientes variables de la forma $ax^2y'' + bxy' + cy = 0$. Se resuelven proponiendo $y = x^m$, lo que conduce a la ecuación auxiliar: $am^2 + (b - a)m + c = 0$

Dependiendo de las raíces $m_1$ y $m_2$, tenemos tres casos:

• Caso 1: Raíces reales distintas. $y = c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}$
• Caso 2: Raíces reales repetidas. $y = c_1x^m + c_2x^m\ln(x)$
• Caso 3: Raíces complejas ($m = \alpha \pm i\beta$). $y = x^\alpha[c_1\cos(\beta\ln x) + c_2\sin(\beta\ln x)]$

Ejemplo 4.1 - Cauchy-Euler (Raíces repetidas)

Resolver $x^2y'' - 3xy' + 4y = 0$.

Solución:

1. Identificamos $a=1, b=-3, c=4$.
2. Ecuación auxiliar: $1m^2 + (-3 - 1)m + 4 = 0 \implies m^2 - 4m + 4 = 0$.
3. Factorizando: $(m - 2)^2 = 0 \implies m = 2$ (raíz repetida).
4. Solución general: $y = c_1x^2 + c_2x^2\ln(x)$

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5. EDO No Homogéneas

La solución general de una EDO no homogénea $y'' + P(x)y' + Q(x)y = g(x)$ se compone de dos partes: $y = y_c + y_p$ Donde $y_c$ es la función complementaria (solución de la EDO homogénea asociada) y $y_p$ es una solución particular cualquiera de la no homogénea.

5.1 Método de Coeficientes Indeterminados

Se utiliza cuando $g(x)$ es un polinomio, exponencial, seno, coseno o sumas/productos de estos. Se propone una forma general para $y_p$ basada en $g(x)$.

• Regla Básica: Si $g(x) = 4x^2$, se propone $y_p = Ax^2 + Bx + C$. Si $g(x) = 5e^{2x}$, se propone $y_p = Ae^{2x}$.
• Regla de Multiplicación (Duplicación): Si algún término propuesto para $y_p$ ya aparece en la solución complementaria $y_c$, la propuesta $y_p$ debe multiplicarse por $x^n$, donde $n$ es el menor entero positivo que elimine la duplicación.

Ejemplo 5.1 - Coeficientes Indeterminados (Con duplicación)

Resolver $y'' - 2y' + y = e^x$.

Solución:

1. Hallar $y_c$: $m^2 - 2m + 1 = 0 \implies (m-1)^2 = 0 \implies m = 1$. $y_c = c_1e^x + c_2xe^x$
2. Proponer $y_p$: Como $g(x) = e^x$, la propuesta normal sería $y_p = Ae^x$. Sin embargo, $Ae^x$ y $Axe^x$ ya están en $y_c$. Multiplicamos por $x^2$. $y_p = Ax^2e^x$
3. Derivar y sustituir: $y_p' = 2Axe^x + Ax^2e^x$ $y_p'' = 2Ae^x + 4Axe^x + Ax^2e^x$ Sustituyendo en la EDO original: $(2Ae^x + 4Axe^x + Ax^2e^x) - 2(2Axe^x + Ax^2e^x) + (Ax^2e^x) = e^x$
4. Agrupar términos: $2Ae^x = e^x \implies 2A = 1 \implies A = 1/2$.
5. Solución general: $y = c_1e^x + c_2xe^x + \frac{1}{2}x^2e^x$

5.2 Variación de Parámetros

Es un método más general que sirve para cualquier $g(x)$ continua (ej. $\sec x$, $\tan x$, $\ln x$). Si $y_c = c_1y_1 + c_2y_2$, se propone que los parámetros constantes varían: $y_p = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2$ Donde $u_1$ y $u_2$ se determinan mediante el Wronskiano $W = W(y_1, y_2)$ y asumiendo la forma estándar $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$: $u_1 = \int \frac{-y_2 f(x)}{W} \, dx, \quad u_2 = \int \frac{y_1 f(x)}{W} \, dx$

Ejemplo 5.2 - Variación de Parámetros

Resolver $y'' + y = \sec(x)$.

Solución:

1. Hallar $y_c$: $m^2 + 1 = 0 \implies m = \pm i$. $y_c = c_1\cos(x) + c_2\sin(x)$ Donde $y_1 = \cos(x)$ y $y_2 = \sin(x)$.
2. Calcular Wronskiano: $W = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x - (-\sin^2 x) = 1$
3. Calcular $u_1$ y $u_2$ (con $f(x) = \sec x$): $u_1 = \int \frac{-\sin(x)\sec(x)}{1} \, dx = \int -\tan(x) \, dx = \ln|\cos(x)|$ $u_2 = \int \frac{\cos(x)\sec(x)}{1} \, dx = \int 1 \, dx = x$
4. Armar $y_p$ y solución general: $y_p = \cos(x)\ln|\cos(x)| + x\sin(x)$ $y = c_1\cos(x) + c_2\sin(x) + \cos(x)\ln|\cos(x)| + x\sin(x)$

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6. Introducción a la Transformada de Laplace

Figura:Transformada de laplace

La Transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo $t$ a ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia $s$. Se define como: $\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) \, dt = F(s)$

Propiedad Fundamental: Transformada de una Derivada

La fortaleza de Laplace radica en cómo transforma las derivadas incorporando directamente las condiciones iniciales:

• $\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$
• $\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

Ejemplo 6.1 - Resolución de un PVI con Laplace

Resolver $y' - y = 1$, sujeta a $y(0) = 0$.

Solución:

1. Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación: $\mathcal{L}\{y'\} - \mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{1\}$
2. Sustituimos usando las propiedades y tablas básicas ($\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$): $[sY(s) - y(0)] - Y(s) = \frac{1}{s}$
3. Evaluamos la condición inicial $y(0) = 0$ y factorizamos $Y(s)$: $sY(s) - Y(s) = \frac{1}{s} \implies Y(s)(s - 1) = \frac{1}{s}$
4. Despejamos $Y(s)$: $Y(s) = \frac{1}{s(s - 1)}$
5. Expandimos por fracciones parciales: $\frac{1}{s(s - 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s - 1} \implies 1 = A(s-1) + Bs$ Si $s=0 \implies A = -1$. Si $s=1 \implies B = 1$. $Y(s) = \frac{1}{s - 1} - \frac{1}{s}$
6. Aplicamos la Transformada Inversa $\mathcal{L}^{-1}$ apoyándonos en tablas ($\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-a}\} = e^{at}$): $y(t) = e^t - 1$

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Conclusión de Ecuaciones Diferenciales

El estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden analizadas bajo el enfoque clásico de Dennis G. Zill expone la transición estructurada entre métodos operativos directos (separación de variables y factor integrante lineal) hacia metodologías de transformación de variables algebraicas más complejas (ecuaciones exactas, transformaciones homogéneas y ecuaciones de Bernoulli). El dominio analítico de estas técnicas representa una de las bases operativas más importantes para el modelado matemático en diversas áreas de la ingeniería.

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Ecuaciones diferenciales

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